由公安機(jī)關(guān)管轄的刑事案件，是有公安機(jī)關(guān)偵查的，而不是檢察院偵查。檢察院批準(zhǔn)逮捕后，還是需要公安機(jī)關(guān)繼續(xù)偵查的。

檢察院批準(zhǔn)逮捕后，由公安機(jī)關(guān)執(zhí)行逮捕。接著繼續(xù)由公安機(jī)關(guān)偵查，待取證完畢，偵查終結(jié)后，才移送檢察院審查起訴。移送檢察院后，公安機(jī)關(guān)就不能再繼續(xù)辦理該案件(檢察院退回補(bǔ)充偵查的除外)。

《刑事訴訟法》：

第七十八條逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必須經(jīng)過人民檢察院批準(zhǔn)或者人民法院決定，由公安機(jī)關(guān)執(zhí)行。

第一百五十四條對犯罪嫌疑人逮捕后的偵查羈押期限不得超過二個月。案情復(fù)雜、期限屆滿不能終結(jié)的案件，可以經(jīng)上一級人民檢察院批準(zhǔn)延長一個月。

第一百零九條報案、控告、舉報可以用書面或者口頭提出。接受口頭報案、控告、舉報的工作人員，應(yīng)當(dāng)寫成筆錄，經(jīng)宣讀無誤后，由報案人、控告人、舉報人簽名或者蓋章。接受控告、舉報的工作人員，應(yīng)當(dāng)向控告人、舉報人說明誣告應(yīng)負(fù)的法律責(zé)任。但是，只要不是捏造事實(shí)，偽造證據(jù)，即使控告、舉報的事實(shí)有出入，甚至是錯告的，也要和誣告嚴(yán)格加以區(qū)別。公安機(jī)關(guān)、人民檢察院或者人民法院應(yīng)當(dāng)保障報案人、控告人、舉報人及其近親屬的安全。報案人、控告人、舉報人如果不愿公開自己的姓名和報案、控告、舉報的行為，應(yīng)當(dāng)為他保守秘密。

第一百一十條人民法院、人民檢察院或者公安機(jī)關(guān)對于報案、控告、舉報和自首的材料，應(yīng)當(dāng)按照管轄范圍，迅速進(jìn)行審查，認(rèn)為有犯罪事實(shí)需要追究刑事責(zé)任的時候，應(yīng)當(dāng)立案;認(rèn)為沒有犯罪事實(shí)，或者犯罪事實(shí)顯著輕微，不需要追究刑事責(zé)任的時候，不予立案，并且將不立案的原因通知控告人?？馗嫒巳绻环?，可以申請復(fù)議。

對于你提出的“如果檢察院批捕了公安局還能申請延期嗎”問題，檢察院批捕了后面就交給公安機(jī)關(guān)了，還有一些偵查，審訊之類的東西都是公安局的人來做的，在特殊的時候是可以申請延期逮捕的，如果時機(jī)不對反倒是打草驚蛇。你可以咨詢律霸網(wǎng)的律師。