由公安機(jī)關(guān)管轄的刑事案件，是有公安機(jī)關(guān)偵查的，而不是檢察院偵查。檢察院批準(zhǔn)逮捕后，還是需要公安機(jī)關(guān)繼續(xù)偵查的。

檢察院批準(zhǔn)逮捕后，由公安機(jī)關(guān)執(zhí)行逮捕。接著繼續(xù)由公安機(jī)關(guān)偵查，待取證完畢，偵查終結(jié)后，才移送檢察院審查起訴。移送檢察院后，公安機(jī)關(guān)就不能再繼續(xù)辦理該案件(檢察院退回補(bǔ)充偵查的除外)。

《刑事訴訟法》：

第七十八條逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必須經(jīng)過(guò)人民檢察院批準(zhǔn)或者人民法院決定，由公安機(jī)關(guān)執(zhí)行。

第一百五十四條對(duì)犯罪嫌疑人逮捕后的偵查羈押期限不得超過(guò)二個(gè)月。案情復(fù)雜、期限屆滿不能終結(jié)的案件，可以經(jīng)上一級(jí)人民檢察院批準(zhǔn)延長(zhǎng)一個(gè)月。

第一百零九條報(bào)案、控告、舉報(bào)可以用書面或者口頭提出。接受口頭報(bào)案、控告、舉報(bào)的工作人員，應(yīng)當(dāng)寫成筆錄，經(jīng)宣讀無(wú)誤后，由報(bào)案人、控告人、舉報(bào)人簽名或者蓋章。接受控告、舉報(bào)的工作人員，應(yīng)當(dāng)向控告人、舉報(bào)人說(shuō)明誣告應(yīng)負(fù)的法律責(zé)任。但是，只要不是捏造事實(shí)，偽造證據(jù)，即使控告、舉報(bào)的事實(shí)有出入，甚至是錯(cuò)告的，也要和誣告嚴(yán)格加以區(qū)別。公安機(jī)關(guān)、人民檢察院或者人民法院應(yīng)當(dāng)保障報(bào)案人、控告人、舉報(bào)人及其近親屬的安全。報(bào)案人、控告人、舉報(bào)人如果不愿公開自己的姓名和報(bào)案、控告、舉報(bào)的行為，應(yīng)當(dāng)為他保守秘密。

第一百一十條人民法院、人民檢察院或者公安機(jī)關(guān)對(duì)于報(bào)案、控告、舉報(bào)和自首的材料，應(yīng)當(dāng)按照管轄范圍，迅速進(jìn)行審查，認(rèn)為有犯罪事實(shí)需要追究刑事責(zé)任的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)立案;認(rèn)為沒有犯罪事實(shí)，或者犯罪事實(shí)顯著輕微，不需要追究刑事責(zé)任的時(shí)候，不予立案，并且將不立案的原因通知控告人?？馗嫒巳绻环?，可以申請(qǐng)復(fù)議。

對(duì)于你提出的“如果檢察院批捕了公安局還能申請(qǐng)延期嗎”問題，檢察院批捕了后面就交給公安機(jī)關(guān)了，還有一些偵查，審訊之類的東西都是公安局的人來(lái)做的，在特殊的時(shí)候是可以申請(qǐng)延期逮捕的，如果時(shí)機(jī)不對(duì)反倒是打草驚蛇。你可以咨詢律霸網(wǎng)的律師。